Как строгой математической дисциплины.
Энциклопедичный YouTube
-
1 / 5
Вероятностное пространство - это тройка (иногда обрамляемая угловыми скобками : ⟨ , ⟩ {\displaystyle \langle ,\rangle } ), где
Замечания
Конечные вероятностные пространства
Простым и часто используемым примером вероятностного пространства является конечное пространство. Пусть - конечное множество, содержащее | Ω | = n {\displaystyle \vert \Omega \vert =n} элементов.
В качестве сигма-алгебры удобно взять семейство подмножеств Ω {\displaystyle \Omega } . Его часто символически обозначают 2 Ω {\displaystyle 2^{\Omega }} . Легко показать, что общее число членов этого семейства, то есть число различных случайных событий, как раз равно 2 | Ω | {\displaystyle 2^{\vert \Omega \vert }} , что объясняет обозначение.
Вероятность, вообще говоря, можно определять произвольно; однако, в дискретных моделях зачастую нет причин считать, что один элементарный исход чем-либо предпочтительнее другого. В таком случае, естественным способом ввести вероятность является:
P (A) = n A n {\displaystyle \mathbb {P} (A)={\frac {n_{A}}{n}}} ,где A ⊂ Ω {\displaystyle A\subset \Omega } , и | A | = n A {\displaystyle \vert A\vert =n_{A}} - число элементарных исходов, принадлежащих A {\displaystyle A} . В частности, вероятность любого элементарного события:
P ({ ω }) = 1 n , ∀ ω ∈ Ω . {\displaystyle \mathbb {P} (\{\omega \})={\frac {1}{n}},\;\forall \omega \in \Omega .}Пример
Рассмотрим эксперимент с бросанием уравновешенной монеты. Естественным будет взять два события: выпадение герба ( Γ {\displaystyle \Gamma } ) и выпадение решки ( P {\displaystyle \mathrm {P} } ), то есть Ω = { Γ , P } . {\displaystyle \Omega =\{\Gamma ,\mathrm {P} \}.} Тогда A = { { Γ } , { P } , { Γ , P } , ∅ } , {\displaystyle {\mathfrak {A}}=\{\{\Gamma \},\{\mathrm {P} \},\{\Gamma ,\mathrm {P} \},\varnothing \},} и вероятность можно посчитать следующим образом:
P ({ Γ }) = 1 2 , P ({ P }) = 1 2 , P ({ Γ , P }) = 1 , P (∅) = 0. {\displaystyle \mathbb {P} (\{\Gamma \})={\frac {1}{2}},\;\mathbb {P} (\{\mathrm {P} \})={\frac {1}{2}},\;\mathbb {P} (\{\Gamma ,\mathrm {P} \})=1,\;\mathbb {P} (\varnothing)=0.}Таким образом определена тройка (Ω , A , P) {\displaystyle (\Omega ,{\mathfrak {A}},\mathbb {P})} - вероятностное пространство, в рамках которого можно рассматривать различные задачи.
Вероятностное пространство - это математическая модель случайного эксперимента (опыта) в аксиоматике А. Н. Колмогорова. Вероятностное пространство содержит в себе всю информацию о свойствах случайного эксперимента, необходимую для его математического анализа средствами теории вероятностей. Любая задача теории вероятностей решается в рамках некоторого вероятностного пространства, полностью заданного изначально. Задачи, в которых вероятностное пространство задано не полностью, а недостающую информацию следует получить по результатам наблюдений, относятся к области математической статистики.
Определение
Вероятностное пространство - это тройка , где:
Заметим, что последнее свойство сигма-аддитивности меры эквивалентно (при условии выполнения всех прочих свойств, в том числе конечной аддитивности) любому из следующих свойств непрерывности меры :
Примеры наиболее часто использующихся вероятностных пространств
Дискретные вероятностные пространства
Если множество элементарных исходов конечно или счетно: , то соответствующее вероятностное пространство называется дискретным . В случае дискретных вероятностных пространств событиями обычно считают все возможные подмножества . В этом случае для задания вероятности необходимо и достаточно приписать каждому элементарному исходу число так, чтобы их сумма была равна 1. Тогда вероятность любого события задается следующим образом:
Важным частным случаем такого пространства является классический способ задания вероятностей , когда количество элементарных исходов конечно и все они имеют одинаковую вероятность. Тогда вероятность любого события определяется как отношение его мощности (т.е. количества элементарных исходов, благоприятствующих данному событию) к общему числу элементарных исходов:
.Однако всегда необходимо помнить, что для того, чтобы применять данный способ, необходимо убедиться в том, что элементарные исходы действительно равновероятны. Это должно либо быть сформулировано как исходное условие, либо этот факт следует строго вывести из имеющихся начальных условий.
Вероятностные пространства на прямой
Вероятностные пространства на прямой () естественным образом возникают при изучении случайных величин . При этом в общем случае уже не получается рассматривать в качестве событий любые подмножества прямой, поскольку на таком широком классе обычно нельзя задать вероятностную меру, удовлетворяющую необходимым аксиомам. Универсальная сигма-алгебра событий, достаточная для работы - это сигма-алгебра борелевских множеств : наименьшая сигма-алгебра, содержащая все открытые множества. Эквивалентное определение - наименьшая сигма-алгебра, содержащая все интервалы . Универсальный способ задания вероятностной меры на данной сигма-алгебре - через функцию распределения случайной величины.
Вероятностные пространства в конечномерном пространстве
Вероятностные пространства с множеством элементарных исходов естественным образом возникают при изучении случайных векторов . Универсальной сигма-алгеброй событий при этом также является борелевская сигма-алгебра , порожденная всеми открытыми множествами. Принципиально этот случай мало чем отличается от случая одной прямой.
События образуют полную группу , если хотя бы одно из них обязательно произойдет в результате эксперимента и попарно несовместны.
Предположим, что событие A может наступить только вместе с одним из нескольких попарно несовместных событий , образующих полную группу. Будем называть события (i = 1, 2,…, n ) гипотезами доопыта (априори). Вероятность появления события А определяется по формуле полной вероятности :
Пример 16. Имеются три урны. В первой урне находятся 5 белых и 3 черных шара, во второй – 4 белых и 4 черных шара, а в третьей – 8 белых шаров. Наугад выбирается одна из урн (это может означать, например, что осуществляется выбор из вспомогательной урны, где находятся три шара с номерами 1, 2 и 3). Из этой урны наудачу извлекается шар. Какова вероятность того, что он окажется черным?
Решение. Событие A – извлечен черный шар. Если было бы известно, из какой урны извлекается шар, то искомую вероятность можно было бы вычислить по классическому определению вероятности. Введем предположения (гипотезы) относительно того, какая урна выбрана для извлечения шара.
Шар может быть извлечен или из первой урны (гипотеза ), или из второй (гипотеза ), или из третьей (гипотеза ). Так как имеются одинаковые шансы выбрать любую из урн, то
.Отсюда следует, что
Пример 17. Электролампы изготавливаются на трех заводах. Первый завод производит 30 % общего количества электроламп, второй – 25 %,
а третий – остальную часть. Продукция первого завода содержит 1% бракованных электроламп, второго – 1,5 %, третьего – 2 %. В магазин поступает продукция всех трех заводов. Какова вероятность того, что купленная в магазине лампа оказалась бракованной?Решение. Предположения необходимо ввести относительно того, на каком заводе была изготовлена электролампа. Зная это, мы сможем найти вероятность того, что она бракованная. Введем обозначения для событий: A – купленная электролампа оказалась бракованной, – лампа изготовлена первым заводом, – лампа изготовлена вторым заводом,
– лампа изготовлена третьим заводом.Искомую вероятность находим по формуле полной вероятности:
Формула Байеса.
Пусть – полная группа попарно несовместных событий (гипотезы). А – случайное событие. Тогда,
Последнюю формулу, позволяющей переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А, называют формулой Байеса .
Пример 18. В специализированную больницу поступают в среднем 50 % больных с заболеванием К , 30 % – c заболеванием L , 20 % –
с заболеванием M . Вероятность полного излечения болезни K равна 0,7 для болезней L и M эти вероятности соответственно равны 0,8 и 0,9. Больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым. Найдите вероятность того, что этот больной страдал заболеванием K .Решение. Введем гипотезы: – больной страдал заболеванием К L , – больной страдал заболеванием M .
Тогда по условию задачи имеем . Введем событие А – больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым. По условию
По формуле полной вероятности получаем:
По формуле Байеса .
Из повседневного опыта известно, что одни случайные события наступают довольно часто, другие менее часто или совсем редко. Однако эти характеристики событий слишком неопределенны. Более объективной экспериментальной характеристикой случайного события (обозначим его, например, через ) является относительная статистическая частота , равная отношению числа опытов , в которых событие наступило, к общему числу опытов , т. е. . Экспериментально установлено, что для многих событий относительная частота при увеличении становится почти постоянной. Это свойство называют статистической устойчивостью относительных частот . Таким образом, с каждым событием можно связать некоторое число , с которым сближается частота, и считать это число вероятностью события .
Рассмотренные выше и ряд других эмпирических фактов, связанных с поведением относительных частот наступления тех или иных событий в повторных испытаниях, обобщение этих фактов и абстрагирование свойств относительных частот привели к аксиоматическому определению понятия вероятности как меры возможности наступления того или иного наблюдаемого в опыте события.
Пусть – алгебра событий для данного опыта. Вероятностью называется числовая функция, определенная для всех и удовлетворяющая трем условиям (аксиомам вероятностей ):
1) (аксиома неотрицательности );
2) (аксиома нормированности );
3) Если и несовместны (т. е. ), то (аксиома аддитивности ).
Нетрудно убедиться, что относительные частоты удовлетворяют условиям 1) – 3). Действительно,
,
.Если реальные события и несовместны, то они наступили при разных опытах и, следовательно,
. Отсюда
,что соответствует 3).
Для решения задач, связанных с бесконечными последовательностями событий, требуется дополнить приведенные аксиомы следующей аксиомой:
4) Если в последовательности наблюдаемых событий
события попарно несовместны (т. е. при ) и , то 
(расширенная аксиома аддитивности
).Из аксиом 1) – 3) следует, что ; в частности . Кроме того, если для некоторого опыта , то . Важно отметить, что из равенств или не следует, что событие является достоверным или соответственно невозможным.
Тройку , где – алгебра подмножеств множества элементарных исходов , – числовая функция, удовлетворяющая условиям 1) – 3), называют вероятностным пространством . Построение вероятностного пространства является основным этапом математической формализации того или иного случайного опыта. Наиболее трудной ее частью является задание вероятностного распределения на поле событий для данного опыта, которое в общем случае определяется следующим образом.
Пусть совокупность
является разбиением множества . Тогда в силу аксиом 2) и 4) . Это значит, что единичная вероятность достоверного события распределяется по множеству несовместных событий, образующих полную группу. Соответствие между событиями некоторого поля и их вероятностями и называют распределением вероятностей.
Оставаясь в рамках аксиоматической теории, задачу о задании вероятностного распределения на поле событий для данного опыта нельзя решить однозначно. Вопрос о том, какое значение вероятности приписать тем или иным событиям в реальных опытах, решается методами математической статистики .
Знание вероятности наступления интересующего нас события позволяет предсказать с определенной точностью относительную частоту осуществления данного события при проведении достаточно большого числа реальных испытаний, т. е. вероятность выполняет прогностическую функцию. Задачи, которые решаются в теории вероятностей, заключаются в том, чтобы по вероятностям некоторых простых событий, известным из опыта, находить вероятности интересующих нас сложных событий. В других задачах вероятностное пространство строится на основе проведения аналогии между описываемым опытом и какой-либо моделью случайного опыта с известным распределением вероятностей. Ниже рассматриваются несколько важных частных моделей случайных явлений.
Конечное вероятностное пространство. Формула классической вероятности. Пусть
– конечное множество элементарных исходов, 
– набор чисел, удовлетворяющих условиям
.Вероятностью события назовем число , определенное формулой
,где событие
. Если , то по определению полагаем, что . Числа являются вероятностями элементарных исходов (элементарными вероятностями
). Таким образом, вероятность события равна сумме тех элементарных вероятностей , у которых входят в . Нетрудно убедиться, что определенная таким образом вероятность удовлетворяет всем аксиомам вероятностей.Определенное выше конечное вероятностное пространство называют также конечной схемой. В конечной схеме вероятность однозначно определяется элементарными вероятностями. Эта схема во многих случаях служит хорошей математической моделью случайных событий.
Рассмотрим частный случай конечной схемы, в котором элементарные вероятности одинаковы, т. е. множество представляет собой конечное множество равновероятных исходов:
. Тогда победем иметь
, (1)где – число элементов множества (число всех благоприятствующих событию исходов), – число элементов множества (число всех элементарных исходов опыта).
Определение (1) называют классическим определением вероятности , а саму формулу (1) – формулой классической вероятности .
Классическое определение вероятности является хорошей моделью тех случайных явлений, для которых элементарные исходы опыта обладают определенной симметрией по отношению к условиям опыта, так что нет оснований считать какой-либо из исходов более вероятным, чем другие. Обычно это предположение оправдано в задачах из области азартных игр, лотерей и т. д. Это объясняется тем, что при изготовлении игральных костей, карт, рулеток и организации лотерей заботятся о соблюдении равновозможности различных исходов. Такие же требования предъявляются к организации выборочного контроля и выборочных статистических исследований.
Пример . Из колоды в 36 карт наудачу вынимается одна карта. Какова вероятность вынуть карту пиковой масти?
◄ Здесь всего исходов . Событие ={вынута карта пиковой масти}. Число равновозможных исходов, благоприятствующих наступлению события , . Следовательно, .
Пример . Бросаются одновременно две симметричные монеты. Какова вероятность выпадения герба на обеих монетах?
◄ Множество состоит из равновозможных элементарных исходов: . Событию ={выпало два герба} благоприятствует исходов. По формуле классической вероятности получаем
. В настоящей главе в сжатом виде представлена эволюция теории вероятностей от классической схемы с конечным числом равновозможных исходов до аксиоматического построения. Вводятся важнейшие понятия теории вероятностей: пространство элементарных событий, случайные события и действия над ними, поле событий, вероятность, вероятностное пространство.
КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ
Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет при осуществлении определенного комплекса условий. Так, например, вода при нормальных атмосферных условиях и 0° С замерзает. Соответственно, невозможным является событие, которое при заданном комплексе условий никогда не произойдет. Случайным естественно назвать такое событие, которое при заданном комплексе условий может как произойти, так и не произойти. Мера возможности осуществления такого события и есть его вероятность. Достоверное и невозможное события могут рассматриваться как крайние частные случаи случайных событий.
Далее случайные события будем обозначать большими латинскими буквами А, В, С, .......Достоверное событие обозначим буквой?2, невозможное - символом 0. Введем теперь некоторые отношения между событиями.
Два события А и В несовместны, если наступление одного из них исключает наступление другого. Сумма событий А, В - это такое третье событие С = А + В, которое происходит тогда, когда наступает либо событие А, либо событие В, либо они оба одновременно. Произведение событий А, В - это такое событие С = АВ, которое наступает тогда, когда происходят и событие А, и событие В. Событие А противоположно событию А, если оно несовместно с событием А и вместе с ним образует достоверное событие А + А = Q..
Покажем, как могут быть построены математические модели явлений с конечным числом исходов. Одной из таких моделей является модель, известная под названием «классическая вероятностная схема». В этой схеме определение вероятности основывается на равновозмож- ности любого из конечного числа исходов, что характерно для первых попыток исчисления шансов в азартных играх.
Так, в случае с игральной костью при однократном бросании равновозможно выпадение любой из шести граней, на которые нанесены цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6. Обозначим эти равновозможные исходы, или элементарные события, через С0|, (% (% а> 4 , СО5, (% Естественно, что шанс осуществиться не одному исходу, а одному из двух, например или С0[, или (рг, в два раза больше. Рассуждая таким образом, можно определить шансы осуществления любого составного события А, состоящего из нескольких элементарных, так называемого составного события.
В общем случае, когда имеется п равновозможных элементарных событий (Oi, ..., сц, вероятность любого составного события А, состоящего из т элементарных событий,...,со, определяется как
отношение числа элементарных событий, благоприятствующих событию А, к общему числу элементарных событий, т.е.
Например, в случае с игральной костью вероятность события А, состоящего в выпадении четного числа очков (т.е. А = {со^, (% оу}), равна Р(А) = 3 / б = V 2 , так как в событие А входят три элементарных события, а общее число элементарных событий равно 6.
Из классического определения вероятности, в частности, вытекает, что вероятность полного события?2, включающего все п элементарных событий, равна единице:
Но ведь тогда полное событие?2, состоящее в появлении любого из всего набора элементарных событий?2 = {со, ..., щ,}, и является достоверным событием, так как оно обязательно происходит. Поэтому вероятность достоверного события равна единице.
Если события рассматривать как подмножества множества элементарных событий, то отношения между событиями, введенными выше, можно интерпретировать как соотношения между множествами. Несовместные события - это такие события, которые не содержат общих элементов. Сумма (А + В) и произведение событий А В - это соответственно их объединение A U В и пересечение А П В , противоположное событие А - дополнение А. Запись А с В означает, что в В содержатся все элементарные события из А и могут содержаться элементарные события, не входящие в А. Если AczBnBcz А, то А = В.
В случае классического определения вероятности справедлива следующая теорема сложения вероятностей:
Теорема 1.1. Если два составных события Л = {со,.со, } и В = {со у,..., соj } являются несовместными, то вероятность объединенного события С = A U В равна сумме вероятностей этих двух событий.
Действительно, вероятности событий А и В равны соответственно т/п и к/п, а событие С = A U В = {со,.,..., со,- ,со,-,...,со, } содержат
т + к элементарных событий, так как по условию теоремы среди элементарных событий {со,.,...,со, } нет ни одного, которое бы входило
в набор {С0у,..., С0д}, поэтому, согласно классическому определению, его вероятность
Из теоремы сложения вытекает, что поэтому
Отсюда, в частности, следует, что вероятность невозможного события, являющегося противоположным по отношению к достоверному событию, равна нулю:
Урновая схема
Классическая схема, несмотря на всю свою ограниченность, пригодна для решения ряда сугубо практических задач.
Рассмотрим, например, некоторую совокупность элементов объема N. Это могут быть изделия, каждое из которых является годным или бракованным; или семена, каждое из которых может быть всхожим или нет; или избиратели, которые могут проголосовать за или против кандидата, и т.д. Подобного рода ситуации описываются урновой схемой: в урне имеется N шаров, из них М белых и (N - М) черных.
Представим себе, что имеются только разрушающие средства контроля каждого изделия на годность. Например, электролампа считается годной, если до перегорания нити накаливания пройдет не менее чем определенное число часов, а это можно определить только непосредственным испытанием. В таком случае можно обследовать только часть изделий, а не всю партию.
Итак, из урны, содержащей N шаров, в которой находится неизвестное число М белых шаров, извлекается выборка объема п.
Требуется определить вероятность того, что в выборке будет обнаружено т белых шаров. В частности, определить вероятность того, что т/п близко к M/N, т.е. достоверно ли представление о генеральной совокупности, полученное по выборке. Последняя из этих двух сформулированных задач, как будет показано далее, является задачей математической статистики.
Первая же задача - на применение классического определения вероятности. В самом деле, в описанной ситуации каждая выборка не имеет предпочтения по отношению к любой другой, т.е. все они равновозможны. Подсчитаем число всех возможных выборок объема п из N элементов. Как известно из комбинаторики, число способов, с помощью которых можно выбрать п элементов из общего их числа
N, равно числу сочетаний из N по л, т.е. с" = ^" где /V! =
N n(N - и)!’
1 2-N. Таким образом, общее число равновозможных исходов равно C " N . Выясним, сколько исходов из общего числа элементарных исходов благоприятствуют событию А, т.е. наличию в выборке объема п белых шаров в количестве т. Число способов, которыми можно из М белых шаров извлечь т штук, равно, а число способов выбрать из (N-М) черных шаров (« - т) штук равно С^~_ т м. Поэтому число исходов, благоприятных событию А, равно С^С^~_ т м, следовательно,
вероятность события А, равная отношению числа благоприятных исходов к их общему числу, такова:
Пример 1.1. Пусть имеется партия, состоящая из 500 изделий, среди которых два бракованных. Какова вероятность в выборке из 5 изделий нс обнаружить ни одного бракованного?
Воспользуемся формулой (1.1.3):
Какой вывод можно сделать о генеральной совокупности, не обнаружив в выборке ни одного бракованного изделия? Кажется естественным перенести этот вывод на всю генеральную совокупность. Таким образом, при выборке, составляющей 1% от генеральной совокупности, мы получили с вероятностью 0,98 абсолютно неправильный ответ: в генеральной совокупности нет бракованных изделий. Этот вывод из очень простой задачи должен не обескуражить, а, напротив, помочь правильно построить статистические выводы по выборочным данным. В рассматриваемом случае, очевидно, не следует пытаться оценивать долю бракованных изделий (N - M)/N по их доле в выборке (п - т)/п, а, по-видимому, целесообразно указывать интервал, который с определенной надежностью должен накрыть неизвестную долю бракованных изделий (N- M)/N. Этот интервал естественно задать в виде
--- ± 8, где ширина интервала 8(п, q) является функцией от объема п
выборки п и уровня надежности ц.
Причем естественно ожидать (в чем мы и убедимся в дальнейшем), что ширина интервала при прочих равных условиях уменьшается с ростом объема выборки и увеличивается при возрастании уровня надежности.
Как отмечалось выше, говорить о вероятности Р(Л) как о мере возможности осуществления случайного события А имеет смысл, только если выполняется определенный комплекс условий. При изменении условий изменится и вероятность. Так, если к комплексу условий, при котором изучалась вероятность Р(А), добавить новое условие, состоящее в появлении события В, то получим другое значение вероятности Р(А/В) - условную вероятность события А при условии, что произошло событие В. Вероятность Р(А) в отличие от условной будем называть безусловной.
Выведем теперь формулу условной вероятности. Пусть событиям А и В благоприятствуют тик элементарных исходов из «; тогда, согласно формуле (1.1.1), их безусловные вероятности равны т/п и к/п соответственно. Пусть событию А при условии, что событие В произошло, благоприятствуют г элементарных исходов, тогда, согласно формуле (1.1.1), условная вероятность события А
Разделив числитель и знаменатель на п, получим формулу условной вероятности:
поскольку событию А П В соответствует г исходов и, следовательно, г/п - его безусловная вероятность. Событие А называется независимым от В, если его условная вероятность равна безусловной, т.е. Р(А/В) = Р(А), при этом из формулы (1.1.4) получаем
т.е. свойство независимости взаимно и для независимых событий, вероятность их пересечения равна произведению их вероятностей. Формула (1.1.4), записанная в виде
называется формулой умножения для зависимых событий, а формула (1.1.5) - теоремой умножения для независимых событий.
Например, в опыте с игральной костыо: пусть событие А состоит в выпадении числа очков, делящегося на три, т.е. А = {со, с%}, а событие В - в выпадении четного числа очков, т.е. В = {со^, щ, ссц}; тогда А П В = со 6 и по формуле условной вероятности (1.1.4) получаем:
но Р(А) = 2 / 6 = Уз, поэтому Р(А/В) = Р(А), т.е. события Aw В независимы.
